sebaran binomial

MAKALAH STASTISTIKA

LABORATORIUM 4

SEBARAN BINOMIAL, POISSON DAN NORMAL

Di Susun Oleh:

Kelompok IV^A

Firda Rahmawati                  (23010114120003)

Firman Prasetyo                    (23010114120021)

Sukma Purbandari W.         (23010114120028)

Heni Sulistyowati                   (23010114120032)

Bil Mustaqim                         (23010114120039)

Achmad Kadri                      (23010114120040)

Afif Imaduddin                     (23010114140198)

FAKULTAS PETERNAKAN DAN PERTANIAN

UNIVERSITAS DIPONEGORO

SEMARANG

2015

BAB I

PENDAHULUAN

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Banyak terdapat materi atau bab yang dipelajari dalam ilmu statistika, beberapa diantaranya yakni sebaran variabel acak diskret dan sebaran variabel acak kontinyu.

Variabel acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap anggota ruang sampel 5 ke bilangan real dalam statistika, variabel acak disimbolkan dengan huruf-huruf kapital misalkan X, Y, Z, dll. Variabel acak diskrit tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu.Variabel Acak Kontinu adalah variabel random yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval, atau variabel yang dapat memiliki nilai-nilaipadasuatu interval tertentu. Kedua sebaran yang teoritis yang deskrit itu ialah sebaran binomial dan sebaran Poisson. Sebaran kontinyunya adalah sebaran normal.

Tujuan dari praktikum ini adalah untuk menjelaskan dan memahami sebaran peluang binomial, sebaran peluang poisson, dan sebaran peluang normal. Manfaat dari praktikum ini yaitu mampu memahami materi statistika tentang sebaran binomial, sebaran Poisson dan sebaran normal.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1.    Sebaran Variabel Acak Diskret

          Variabel acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap anggota ruang sampel 5 ke bilangan real (Lefebvre, 2006). Dalam statistika, variabel acak disimbolkan dengan huruf-huruf kapital misalkan X, Y, Z, dll.Variabel acak diskrit adalah suatu variabel acak yang memiliki nilai cacah (Harinaldi, 2005).

2.1.1. Sebaran Peluang Binomium

          Sebaran Peluang Binomium merupakan peluang probabilitas dari banyaknya kejadian sukses pada n percobaan Bernoulli (Lefebvre, 2006).Umumnya suatu eksperimen atau percobaan dapat dikatakan eksperimen binomial apabila memenuhi syarat berikut ini (Supranto, 2001).

a.              Banyaknya eksperimen merupakan bilangan tetap (fixed number of trials)

b.             Eksperimen mempunyai 2 hasil yang dikategorikan menjadi sukses dan gagal

c.              Probabilitas sukses sama pada setiap percobaan

d.             Eksperimen tersebut harus bebas satu sama lainnya, artinya hasil eksperimen

yang satu tidak mempengaruhi hasil eksperimen lainnya.

 

2.1.2. Sebaran Peluang Poisson

          Sebaran Peluang Poisson merupakan peluang probabilitas dari banyaknya kejadian sukses X yang terjadi selama interval waktu atau area tertentu (Walpole, 2012). Distribusi Poisson termasuk salah satu distribusi probabilitas dengan variabel random deskrit.Distribusi ini digunakan pada n yang kecil. Oleh karena itu sering disebut sebagai hukum nilai kecil (Budiarto, 2004).

2.2. Sebaran Variabel Acak Kontinyu

       Sebaran Variabel Acak kontinyu mempunyai nilai  numerik berapapun, di antara nilai terendah dan tertingi yang mungkin. Variabel acak kontinyu disebut sebagai histogram probabilitas (Harinaldi, 2005). Ruang sampel mengandung titik sampel yang tak terhingga banyaknya (Dajan, 2006).

2.2.1.Sebaran Normal

         Sebaran Normal merupakan distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika karena mempunyai sifat-sifat penting sebagai berikut :

a.      Kurva distribusi normal mempunyai satu puncak

b.      Kurva normal dibentuk dari jumlah pengamatan yang sangat banyak

c.      Ekor kurva mendekati absis pada penyimpangan ke kiri dan ke kanan sebesar

3 SD dari rata-rata dan ekor grafik ini dapat dikembangkan terus tanpa menyentuh

habis (Budiarto, 2004)

e.      Modusnya yaitu titik pada sumbu mendatar yang membuat fungsi mencapai

maksimum yang terjadi pada x = µ

f.      Kurva nya setangkup terhadap suatu garis tegak yang melalui nilai tengah µ

g.     Luasan daerah yang terletak di bawah kurva tetapi di atas sumbu mendatar

sama dengan 1 (Walpole, 2012).

BAB III

PEMBAHASAN

3.1. Sebaran Variabel Acak

       Variabel acak diskrit hanya dapat mengambil nilai-nilai tertentu yang terpisah, yang umumnya dihasilkan dari perhitungan suatu objek.Variabel acak diskrit tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu.Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak pecahan.

3.1.1.Distribusi Binomial

         Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau “gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama, yaitu sebasar ½..(Walpole, 2012).

 

Syarat Distribusi Binomial sebagai berikut :

1.     Jumlah trial merupakan bilangan bulat  contoh melambungkan koin 2 kali, tidak mungkin 2 ½ kali.

2.     Setiap eksperimen mempunyai dua outcome (hasil). Contoh: sukses/ gagal, laki/ perempuan, sehat/ sakit,setuju/ tidak setuju.

3.     Peluang sukses sama setiap eksperimen.

Contoh: Jika pada lambungan pertama peluang keluar mata H/sukses adalah ½, pada lambungan seterusnya juga ½. Jika sebuah dadu, yang diharapkan adalah keluar mata lima, maka dikatakan peluang sukses adalah 1/6, sedangkan peluang gagal adalah 5/6.Untuk itu peluang sukses dilambangkan p, sedangkan peluang gagal adalah (1-p) atau biasa juga dilambangkan q, di mana q = 1-p.

Distribusi Binomial dapat diterapkan pada peristiwa yang memiliki ciri-ciri percobaan Binomial atau Bernoulli trial sebagai berikut :

1.  Setiap percobaan hanya mempunyai 2 kemungkinan hasil : sukses(hasil yang dikehendaki, dan gagal (hasil yang tidak dikehendaki)

2.     Setiap percobaan bersifat independen atau dengan pengembalian.

3.Probabilita sukses setiap percobaan harus sama, dinyatakan dengan p. Sedangkan probabilita gagal dinyatakan dengan q, dan jumlah p dan q harus sama dengan satu.

4.     Jumlah percobaan, dinyatakan dengan n, harus tertentu jumlahnya.

Penerapan  Distribusi Binomial :

Beberapa kasus dimana distribusi normal dapat diterapkan yaitu:

1.     Jumlah pertanyaan dimana anda dapat mengharapkan bahwa terkaan anda benar  dalam ujian pilihan ganda.

2.      Jumlah asuransi kecelakaan yang harus dibayar oleh perusahaan asuransi.

3.      Jumlah lemparan bebas yang dilakukan oleh pemain basket selama satu musim.

Rumus Distribusi Binomial

N : Banyaknya ulangan

X : Banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x

P  : Peluang berhasil dalam setiap ulangan

Q : Peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan

Sebaran Peluang binomium ini mempunyai parameter rata-rata  d an μ simpangan baku σ sebagai berikut :

μ= NP

σ=

Contoh :

Menurut pengalaman 45% dari telur yang menetas akan menjadi ayam betina. Berapakah peluang agar dari 10 butir telur yang menetas terdapat 4 ekor ayam betina dan 6 ekor ayam jantan?

Jawab :

Di teteskannya seekor ayam betina dapat dimisalkan sebagai kejadian X= x, x= 0,1,2,3,…….,10. Dalam hal ini x =4 dan N= 10, sedangakan p =0,45 sehingga peluang dari 10 butir telur yang menetes terdapat 4 ekor ayam betina adalah ;

=   =  = =  140

           

P(X = x;x = 4) = (0,45)⁴ (0,55)⁶

= 140 (0,41) (0,027)

= 1, 5498.

3.1.2. Distribusi Poisson

          Distribusi Poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi,Distribusi Poisson diberinama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson (1781-1841), seorang ahli matematika bangsa Perancis. Distribusi Poisson termasuk distribusi teoritis yang memakai variable random (variable acak)diskrit.Distibusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyainilai 0,1, 2, 3 dst. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X diskrit),yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerahtertentu.fungsi distribusi probabilitas diskrit yang sangat penting dalam beberapa aplikasi praktis. Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengansangat memuaskan terhadap probabilitas Binomial b(X│n.p) untuk X= 1,2,3 …n. namun demikian, untuksuatu kejadian dimana n sangat besar (lebih besar dari 50) sedangkan probabilitas sukses (p) sangat kecilseperti 0,1 atau kurang, maka nilai binomialnya sangat sulit dicari. Suatu bentuk dari distribusi ini adalahrumus pendekatan peluang Poisson untuk peluang Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatanprobabilitas Binomial dalam situasi tertentu.Distribusi Poisson sering digunakan untuk menentukan peluang sebuah peristiwa yang dalam areakesempatan tertentu diharapkan terjadinya sangat jarang. Distribusi ini juga bisa dianggap sebagai pendekatan kepada distribusi binom, N cukup besar sedangkan =

peluang terjadinya peristiwa A, sangat dekat dengan nol sedemikian sehingga μ = Np tetap, maka distribusi binomial didekati oleh distribusi Poisson. Satu-satunya parameter distribusi Poisson adalah μ, yaitu mean dan variansi, menyatakan derajat hitungan dalam satuan waktu atau tempat. Apabila satuan tempat atau waktu berubah dengan derajat relatif tetap, maka harga μ berubah secara proporsional.

Asumsi sebaran Poisson :

1.     Terdapat n tindakan bebas dimana n sangat besar,

2.     Hanya satu keluaran yang dipelajari,

3.     Terdapat peluang yang konstan dari munculnya kejadian setiap tindakan,

4. Peluang lebih dari satu keluaran pada setiap tindakan sangat kecil atau dapat diabaikan. Maka rumus poisson adalah

Dimana X dapat merupakan nilai- nilai 0,1,2,…., N dan e = 2,71828. Nilai icari pada tabel.

          Sebaran peluang poisson mempunyai parameter rata-rata μ dan simpangan baku σ, sebagai berikut;

μ = Np=σ

σ =√Np

Contoh :

Berdasarkan pengalaman, sebuah mesin tetas yang berkapasitas 2000 butir telur, pada saat di operasikan hanya sebutir telur yang tidak menetas. Mahasiswa fakultas peternakan undip ingin mengetahui berapa peluang memperoleh 0,1,2,3,4 dan 5 butir telur yang tidak menetas dari proses penetasan yang diisi 1000 butir telur.

Jawab ;

Disini p= 1/2000 (lebih kecil dari 0,10) dan N= 1000 (lebih besar dari 50), sehingga pendekatan poisson dapat dilakukan. Dari nilai p dan N tersebut maka μ= 0,50. Sebaran poisson secara berturut- turut dapat di berikan sebagai berikut ;

(a). P( X = x = 0) = (0,50)⁰e ^−0,50= 0,6066

                                         0!

(b). P( X = x = 1) = (0,50)¹e ^−0,50 = 0,3033

                                        1!

(c). P( X = x = 2) = (0,50)²e ^−0,50= 0,07582

                                          2!

(d). P( X = x = 3) = (0,50)³e ^−0,50= 0,01264

                                         3!

(e). P( X = x = 4) = (0,50)⁴e ^−0,50= 0,00158

                                          4!

(f). P( X = x = 5) = (0,50)⁵e ^−0,50 = 0,000184

                                          5!

3.2. Sebaran Variabel Acak Kontinyu

       Salah satu contoh paling penting dari suatu sebaran peluang variabel acak kontinyu adalah distribusi normal atau lengkungan normal atau distribusi Gauss.

3.2.1.  Sebaran Peluang Normal

           Sebaran normal adalah salah satu sebaran.Peluang variabel acak kontinyu, mempunyai fungsi densitas  f (x) darimana probabilitasnya dapat dihitung.

Sifat- sifat penting Sebaran Normal :

(1). Grafiknya selalu ada diatas sumbu X

(2). Bentuknya simetris terhadap X = μ

(3). Mempunyai satu modus, jadi kurva unimodel, tercapai pada X = μ sebesar

(4). Grafiknya mendekati (berasimtotkan) sumbu datar X dimulai dari X = μ + 3σ kekanan da n X = μ − 3σ kekiri

(5). Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi.

Sebaran normal didefinisikan oleh persamaan :

dimana:

π = Nilai konstan yang bila ditulis hingga 4 desimal = 3,1416

e = Bilangan konstan yang bila ditulis dalam 4 desimal = 2,7183

μ = Parameter, ternyata merupakan rata-rata untuk distribusi

σ = Parameter, merupakan simpangan baku untuk distribusi

Untuk menentukan probabilitas harga x antara a dan b yakni p (a <x >b), maka:

          Rumus diatas tak perlu digunakan karena sudah ada daftar distribusi normal standar, yaitu suatu distribusi normal dengan rata-rata μ = 0 dan simpangan bakuσ = 1. Agar daftar distribusi normal standar dapat digunakan maka distribusi normal umum yang fungsi densitasnya :

diubah menjadi distribusi normal standar yang fungsi densitasnya :

diubah menjadi distribusi normal standar yang fungsi densitasnya :

dengan menggunakan transformasi:

z =x − μ

σ

Dengan daftar normal standar, bagian-bagian luas dari distribusi normal standar dapat

dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut:

(1).   Hitung z hingga 2 desimal

(2).   Gambarkan kurva-nya

(3).  Letakkan harga z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal hingga memotong kurva.

(4).  Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini dengan garis tegak dititik nol,

dalam daftar, cari tempat harga z pada kolom paling kiri hanya hingga satudesimal dan desimal ke-2 nya dicari pada baris paling atas dari z dikolom kiri maju kekanan dan dari z dibaris atas turun kebawah, makadidapat bilangan yang merupakan luas yang dicari. Bilangan yang didapat harusditulis dalam bentuk 0, xxxx (bentuk 4 desimal)

Contoh:

Hitunglah luas daerah dibawah kurva normal pada tiap kasus berikut

(a). Antara z = 0 dan z = 2,15

Dibawah z pada kolom kiri cari 2,1 dan diatas sekali angka 5. Dari 2,1 maju kekanan dan dari 5 menurun, didapat 4842. Luas daerah yang dicari daerah yang diarsir = 0,4842

(b). Antara z = 0 dan z = -1,86

Karena z bertanda negatif, maka pada grafiknya diletakkan disebelah kiri 0, untuk daftar digunakan z = 1,86. Dibawah z kolom kiri dapatkan 1,8 dan diatas angka 6. Dari 1,8 kekiri dan dari 6 kebawah didapat 4686. Luas daerah = daerah yang diarsir = 0,4686

(c). Antara z = -1,50 dan z = 1,82

Karena z bertanda negatif, maka pada grafiknya diletakkan disebelah kiri 0, untuk daftar digunakan z = 1,86. Dibawah z kolom kiri dapatkan 1,8 dan diatas angka 6. Dari 1,8 kekiri dan dari 6 kebawah didapat 4686. Luas daerah = daerah yang diarsir = 0,4686

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1.      KESIMPULAN

Sebaran acak merupakan suatu hasil perolehan yang terjadi didalam suatu percobaan, sebaran acak dibagi menjadi dua yaitu sebaran acak diskrit dan sebaran acak kontinyu.Sebaran acak diskrit merupakan bilangan yang berbentuk bilangan bulat, sebaran ini di bagi menjadi sebaran peluang binomial yaitu sebaran diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, sedangkan sebaran peluang poisson adalah sebaran peluang diskret yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu.Sebaran Acak Kontinyu adalah sebaran nilai yang diperoleh dari hasil pengukuran dan atau bilangan sembarang dalam interval tertentu.

4.2       SARAN

Ketelitian saat menyelesaikan distribusi binomial, distribusi poisson dan distribusi normal sebaiknya harus benar- benar dilakukan agar di dapatkan hasil yang sesuai.

 

DAFTAR PUSTAKA

Budiarto, E. 2004. Metodologi Penelitian Kedokteran. Electrocardiogram. Buku Kedokteran. Erlangga, Jakarta.

Dajan, A. 2006. Pengantar Metode Statistik. Jilid II. Lembaga Penelitian Pendidikan dan Penerangan Ekonomi dan Sosial, Jakarta.

Harnaldi, M. 2005. Prinsip-Prinsip Statistika untuk Teknik dan Sains. Erlangga, Jakarta.

Lefebvre, M. 2006. Applied Probability and Statistics.Springer, New York.

Supranto, J. 2001. Pengukuran Tingkat Kepuasan Pelanggan. Rineka Cipta, Jakarta.

Walpole, R.E., R.H. Myers., S.L. Myers., and K. Ye.2012. Probability and Statistics for Engineers and Scientists Edition. 9^th Ed. Pearson Education, Boston.